4. Statisztikai jellemzõk megbízhatósága

4.1 Konfidencia tartomány, konfidencia szint

A mintákból meghatározott becslõk magukban is érdekesek lehetnek, különösen, ha minták összehasonlításáról van szó. Természetes azonban, hogy a jellemzõk akkor értékesek igazán, ha azok megbízhatóságáról is van képünk. Ez a kívánalom egyenértékü azzal, hogy többé kevésbé ismerjük a becslõ statisztikák eloszlását, de legalábbis alkalmazhatunk néhány valószínûségszámításból ismert egyenlõtlenséget. Emlékeztetünk arra, hogy a mintákból számított becslések valószínûségi változók függvényei lévén maguk is valószínûségi változók.

A gyakorlatban a kérdések általában így vetõdnek fel:

(a) mi a valószínûsége annak, hogy a valószínûségi változó egy realizációja (= a következõ megfigyelt adat) elõírt határok közé essék (pl a  £ x £  b)?

(b) melyek azok a határok, amelyek közé a következõ megfigyelt adat elõírt valószínûséggel esik?

A két kérdés lényegében ugyanaz, egyik feladat a másik inverze. Az (a) kérdéssel egy-egy megfigyelést értékelünk, a (b) kérdéssel követelményeket fogalmazunk meg, pl. pontasságot írunk elõ.

Ha ismerjük a szóbanforgó valószínûségi változó eloszlásfüggvényét, mindkét kérdésre választ kaphatunk:

                 (4.1)

4.2 Nevezetes eloszlások

Természettudományos gyakorlatunkban egyik leggyakoribb eloszlásfüggvény a normális eloszlás. Ha valamely vizsgált változóra számos, önmagában kis hatású, a változó értékét egyforma eséllyel növelõ vagy csökkentõ tényezõ is hat, számíthatunk arra, hogy megfigyelt értéke normális eloszlású lesz.

4.2.1 A normális eloszlás

A (4.1) integrál ezesetben:

             (4.2)

standardizált, 0-közepû és 1 szórású változóra, -¥ és x határok között. (Ezt az eloszlást szokás N(0,1) röviditéssel jelölni). Miután a

        (4.3)

Negativ x argumentumok esetén a valószínûséget

Érdemes megjegyezni, hogy normális eloszlás esetén
 
 
 

illetve nem standardizált változóra:

Azt a tartományt amelybe a valószínûségi változó várhatóan p valószínûséggel esik, a változó p szintû megbízhatósági vagy konfidencia tartományának nevezik. A változó természetesen a = 1 - p valószínûséggel a konfidencia tartományon kívül is realizálódhat. Ezt az a értéket tévedési valószínûségnek szokás nevezni. A konfidencia tartományt gyakran a szintû tartománynak is nevezik.

A bevezetésben feltett (b) kérdés, azaz az, hogy megkívánt, rendszerint kerek konfidencia szinthez milyen ± ks konfidencia határok tartoznak, alkalmasan átrendezett táblázatokkal válaszolható meg.
 

A normális eloszlás -és a továbbiakban tárgyalt Student és c ² eloszlások számértékeit kézikönyvekben vagy pl. a http://math.uc.edu/~brycw/148/tables.htm internetcímen lehet megtalálni.
 

4.2.2 A Student eloszlás

Ha egy normális eloszlású sokaságból vett minta sok elemû (n > 120), akkor a mintából számított s standard deviáció jól becsüli az elméleti szórást, s -t. Ha azonban nem ez a helyzet, a kevesebb elemû mintából becsült s standard deviációval szélesebb konfidencia tartományt kell megadnunk ahhoz, hogy biztonságunk megmaradjon.

A helyes összefüggéseket ezekben az esetekben a normális eloszlás helyett a Student eloszlás adja meg, amelynél a konfidencia tartományok szélességét megadó t szorzók a minta elemszámától, pontosabban a minta szabadsági fokától függenek.

A szintén szimmetrikus

                     (4.6)

4.2.3 A c² eloszlás

Mivel a valószínûségi változók négyzetei (pl. a szórás négyzete, a variancia ) gyakorlatunkban igen jelentõsek, fontos szerepû az a függvény, amelyik a független, külön-külön N(0,1) eloszlású változók

összegének eloszlását adja meg, a c² eloszlásfüggvény:

             (4.7)

4.2.4 Az F eloszlás

A normális és Student eloszlást sikeresen alkalmazzák normális változók különbségeinek vizsgálatára. Valószínûségi változók négyzetösszegei esetén hasznosabbnak bizonyult azok hányadosainak kritikus megítélése.

Erre a feladatra (nevezetesen annak eldöntésére,.hogy egyezõnek vagy eltérõnek tekinthetõ-e két változó négyzetösszege) az Fisher féle F eloszlás alkalmas. Ez a függvény két független, c ² eloszlású változó hányadosának eloszlásáról tájékoztat. Az F függvény az

                  (4.8)

hányados adott határok közötti elõfordulási valószínûségét adja meg, ahol n₁ és n₂ a számláló és nevezõ szabadsági foka. F számlálójában és nevezõjében varianciákat ismerhetünk fel. Az F eloszlás 0 és +¥ között értelmezett. Ebbõl következõen az F törtben a számlálónak kell kisebbnek lennie.

A gyakorlatban használt F táblázatokban a választott a tévedési valószínûségnek, továbbá a számláló és a nevezõ szabadsági fokának ismeretében lehet megtalálni azt a kritikus  értéket, amelynél egyezõnek feltételezett változók esetén a kisérletileg megkapott F érték nem lehet nagyobb.