5. Statisztikai hipotézisek, statisztikai döntések

5.1 Alapelvek

Az olyan becslések, mint a középérték, a szórás valószínûségi változók, amelyeknek megvan a maguk eloszlása, várható értéke, szórása. Ha ez így van, feltehetõk olyan kérdések, hogy két becslés véletlenül tér-e el egymástól vagy az eltérésnek jelentõs oka van? Más szavakkal fogalmazva kérdezzük: két becslés ugyanahhoz a sokasághoz tartozik-e, azaz, ha számértékük eltér, akkor ez annak tulajdonítható-e, hogy más sokasághoz tartoznak, vagy csak a véletlennek? Ezekre a kérdésekre válaszolnak a statisztikai próbák.

A válaszadás gondolatmenete ez:

(a) meg kell határozni két összehasonlítandó érték eltérését (különbségét).

(b) ha ismerjük a vizsgált valószínûségi változók eloszlását, akkor a két értékkülönbségérõl eldönthetõ, hogy mekkora annak fellépési valószínûsége. Az eltéréseket a különbség szórásához viszonyítjuk, azt vizsgáljuk, nagyobb-e az eltérés ennél a szórásnál, vagy annak két-, háromszorosánál.

(c) ha úgy itéljük, hogy ez a valószínûség kicsiny, akkor az eltérést nem a véletlennek tulajdonítjuk és a két értéket jelentõsen, szignifikánsan eltérõnek nyilvánítjuk, tudva azt, hogy tévedhetünk is. A kis valószínûség szokásosan az a tévedési valószínûséggel egyezik.

Hogy az eltérés mekkora valószínûségét tekintjük majd “kicsiny”-nek (mekkora tévedési valószínûséget vállalunk), az a feladat körülményeitõl függõ, elõzetes elhatározás kérdése. Belátható, hogy a választást a próba elõtt illik megejteni.

A gondolatmenetet és a használt szakkifejezéseket szemléljük meg egy példán. Tegyük fel, hogy arra vagyunk kiváncsiak, egy valószínûségi változó konkrét x értéke beletartozik-e egy, általunk ismert m középértékû és s szórású normális sokaságba vagy nem? Más szavakkal arra, hogy a m-x különbség beesik-e

tartományba? Ha nem, akkor egy 0.27% valószínûségû esemény következett be. Ha ezt kicsinynek ítéljük, akkor azt mondjuk, x nem tartozik a sokasághoz és ebben 0.27% valószínûséggel tévedhetünk, hiszen elvben végtelen nagy vagy kicsi elem is lehetne a sokaság eleme.

Formálisan ezt tesszük: A

Nos, ha az egyenlõtlenség baloldala, amit  módon is szoktak jelölni nagyobb, mint három, akkor a

                  (5.2)

5.2 Statisztikai hipotézisek

Mivel statisztikai vizsgálattal az igazságot abszolut bizonyossággal nem sikerül megállapítani, az állításokat hipotéziseknek nevezzük, és nem azt mondjuk róluk, hogy igazak, vagy hamisak, hanem azt, hogy elfogadjuk-e õket, vagy elvetjük.

5.2.1 Nullahipotézis és alternatív (ellen)hipotézis

Feltevésünk általában az, hogy a vizsgált becslések megegyeznek, azaz különbségük 0. Innen a nullahipotézis elnevezés és a (H₀) jelölés

A nullahipotézissel szemben alternatív hipotézist (H_A) szokás felállítani, amely lehet a nullahipotézis ellentéte, de nem szükségképpen az.

vagy például

5.2.2 Egyoldalas és kétoldalas hipotézisek

Az (5.3) (“egyenlõ”) hipotézissel szembeállított (5.4) (“nem egyenlõ”) és (5.5) (“nagyobb”) hipotéziseket meg kell különböztetnünk! Az elsõ esetben elvetjük a hipotézist akkor is, ha a m₁ - m₂ különbség túl nagy negatív, és akkor is, ha ha túl nagy pozitív szám. Ha 5% tévedési valószínûséget választottunk, 2.5% valószínûséget kell adni annak, hogy a különbség a "haranggörbe" egyik végére, 2.5%-ot annak, hogy a másik végére essék. A kérdésfeltevést ezért is nevezik "kétoldalas" (two sided) feltevésnek. Ha viszont a H_A: m₁ > m₂ alternatív hipotézissel foglalkozunk, csak az a határ érdekel, amelynél m₁ 5% valószínûséggel nagyobb. mint m₂. (Egyoldalas, one sided kérdésfeltevés.) Más szavakkal: ha kétoldalas a feltevés, azokat az u határokat figyeljük, amelyek a sûrüségfüggvény alatti 2.5% - 97.5% valószínûségû területet határolják, egyoldalas esetben pedig a -¥- 95% valószínûségterületet. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy a kritikus u értékeket kétoldalas próbánál a 0.025 (a/2), egyoldalasnál a 0.05 (a) oszlopban kell keresni.
 

5.2.3 Elsõfajú és másodfajú hibák

Statisztikai hipotézisek elfogadásánál vagy elvetésénél kétféle hibát lehet véteni: elsõfajú és másodfajú hibákat:
 
 

A kétféle hiba jelentõségét csak az adott helyzetben lehet mérlegelni. A körülmények döntik el, hogy mi okoz nagyobb kárt: egy jobb növényvédõszer elvetése, vagy egy rossz bevezetése, egy beteg kezelésének elhagyása, vagy egy egészséges megoperálása. Az elsõfajú hiba valószínûségét a tévedési valószínûség csökkentésével lehet kisebbiteni. A másodfajú hiba valószínûségének beállítása bonyolultabb kérdés.

5.3 Gyakori statisztikus próbák

A továbbiakban két gyakran használt példát mutatunk be. A példák több szempontból egyszerûek, de jó megjegyezni, hogy a matematikai statisztikának a gyakorlatban felvetõdõ nehezebb feladatokra (nem normális, vagy ismeretlen eloszlású adatok, különbözõ mérteû minták stb.) is számos megoldása van.

5.3.1 Két számtani közép egyezésének vizsgálata

Két mérési eredményt akarunk összehasonlítani. A mérési eredmények véges n₁ és n₂ párhuzamos mérés átlagai, számtani közepek,  és  értékek. Tudni szeretnénk, eltér-e egymástól a két eredmény. Egyszerûség kedvéért tételezzük fel, hogy a két eredményt ugyanannyi párhuzamos mért értékbõl számították, és azt is, hogy a mérési módszer pontossága a két mérés között nem változott. Tegyük fel továbbá, hogy a mért értékek normális eloszlásúak.

A nullahipotézis:

H₀: m₁ = m₂            Feltevés : s₁ =s₂        n₁ = n₂

Az ellenhipotézis:

H_A:m₁ ¹m₂

A nullahipotézisbõl következik, hogy a vizsgált valószínûségi változónk a m₁ - m₂ küllönbség. Kérdés, mi ennek a különbségnek a szórása? Tudjuk, hogy az számtani közép varianciáját az s²/n mennyiség becsli. A varianciák összeadhatóságából következik, hogy az különbség szórása becslése: , esetünkben: . Aszabadsági fok: 2*(n-1). Ismerve ezeket a mennyiséget

A számított t:                         

Ezt a mennyiséget kell a táblázati kritikus t(a ,n )-értékkel összemérni.
 

5.1 Numerikus példa (L. Sachs: Statistische Methoden, Springer, Berlin 1993. p. 77)

Legyen , 

t kritikus értéke 95%-os megbízhatósági szinten, 58 szabadsági foknál:

A  m₁ - m₂ különbség konfidencia tartománya:

A két középérték nem tér el egymástól szignifikánsan, H₀-t megtartjuk, a különbség konfidencia tartománya 95% valószínûséggel tartalmazza 0-t.
 

5.3.2 Tapasztalati szórások összehasonlítása

Mint errõl a 4.2.3 és 4.2.4 pontban már szó volt, valószínûségi változók négyzetei összegének összehasonlítására célszerûen nem különbségük, hanem hányadosuk eloszlásfüggvénye használtatik. Végesszámú mintákból becsült varianciák ilyen mennyiségek, a döntõ függvény az F-eloszlás. Ha a szórások négyzetének hányadosa meghalad egy bizonyos, a -tól függõ értéket, akkor a két variancia 1 -  a biztonsággal eltér egymástól. Az F eloszlás két másik változója a számláló és nevezõ szabadsági foka.

A próba lépései a következõk: Legyen adott 2 minta. A minták elemszáma legyen n₁ és n₂. A két mintából meghatározunk két standard deviációt: s₁-et és s₂-t. Kérdés: szignifikánsan eltér-e a két szórás?

1) Fogalmazzuk meg a hipotéziseket:

H₀ :         H_A:         (kétoldalas kérdésfeltevés)

H₀:          H_A:         (egyoldalas kérdésfeltevés)

2) Válasszunk tévedési valószínûséget (a)

3) Válasszuk ki a két szórás közül a nagyobbat. Kapja ez az 1 indexet.

4) Képezzük a számított  hányadost:

.

F -nek három változója van: a tévedési valószínûség (a) és a két szabadsági fok: n₁ = n₁-1 és n₂= n₂-1.

A kritikus F értékek a táblázatoka oldalán, a n₁ oszlopban és a n₂ sorban találhatók. Egyoldalas kérdésfeltevésnél az a valószínüséghez tartozó táblázatot, kétoldalasnál az a /2 valószínüséghez tartozó táblázatot kell választani. Ha a számított  nagyobb a kritikusnál, a nullahipotézist el kell vetni, a szórások szignifikánsan eltérnek egymástól, adott tévedési valószínûséggel.

5.2 Numerikus példa: Elfogadhatjuk-e azt az 5.1 példában megadott hipotézist, miszerint az abban szereplõ szórások megegyeznek? (L. Sachs: Statistische Methoden, Springer, Berlin 1993. p. 77)

H₀ :         H_A:         (kétoldalas kérdésfeltevés)

a= 0.05

A nullahipotézist elfogadjuk.