Stacionárius kvázilineáris hővezetésre lineáris esetben három differenciálegyenlet írható fel a három képi reprezentáció értelmében [1,2].

Fourier kép	Energia kép	Entrópia kép
T = 0	lnT = 0	1/T = 0

Azonban ez a Fourier képre vonatkoztatva csupán mérnöki közelítésből fakad, mert a Fourier törvénynek erre a lineáris T = 0) esetre a természetben nincs egzisztenciája. Így lineáris hővezetésre csak két reprezentációs képben -energia és entrópia képben- írhatók fel a vonatkozó differenciálegyenletek a minimális entrópiaprodukció elvének értelmében.

Kvázilineáris hővezetés esetére összesen hat differenciálegyenlet írható fel a fenti képi reprezentácóknak megfelelően, azaz minden reprezentációs képben felírható a másik két reprezentációs kép kvázilineáris differenciálegyenlete direkt variációval. Itt a minimumelvek [9,10] értelmében szintén csupán két nemlineáris differenciálegyenlet írható fel (T) -re az energia valamint az entrópia képekben a direkt variáció eredményeképpen.

Energia kép	Entrópia kép
L* (T)2 - L* T T = 0	2 L (T)2 - L T T = 0

Az áramegyenlőség alapján felírható volt, hogy

L* = T (T)

és

L = T2 (T).

A fennmaradó négy differenciálegyenlet mint megoldás csupán formális eredménynek tekinthető szempontunkból.

Egy dimenziós esetre Fourier képben az Euler-Lagrange differenciálegyenletben a Lagrange sűrűségek célszerű helyettesítésével (_T, _lnT, _1/T) kiterjeszthető a konkurrenciába vont függvények száma s ez mint új tényező vehető figyelembe a variációs probléma megoldásakor. Általánosan az Euler-Lagrange differenciálegyenlet megoldására és értelmezésére a Gyarmati elvet használtuk kiegészítve az említett új tényező elvével.

A Lagrange sűrűség Fourier képben a nemlineáris hővezetés egzisztenciáját mutatja stacionárius állapotban [8,14]. Nem igazolja azonban a lineárist.

(T)TT = _T(T)= T²s

(T)T = _lnT= Ts = L*

(T)T = _1/T= s = L

A differenciálegyenletekből (T)-re és`(T)-re (ahol `(T) = ) kapjuk, hogy

(T) = és `(T) = energiaképben, és

(T) = és `(T) = entrópiaképben.

A konstansokra nézve c₁ = T c₂ kapcsolat lehetséges.

A (T) hővezetési tényezőre kapott kifejezés egybeesik statisztikai mechanikában ismeretes eredménnyel, az 1/T viszonynak megfelelően a magas hőmérsékletű tartományban 100 K felett [3,4,5] germániumra de sziliciumra is a mérésekkel egyező az eredmény [11,12]. Az irodalomból nyerhetően az állandó értéke pl. germániumra kb. 20000 W/m.

A stacionárius állapotbeli hőmérsékleteloszlást illetően tekintsünk egy egydimenziós hővezetési problémát, ahol a hő vezetése egy lemezen át történik. A lemez vastagsága l és a felületeket állandó hőmérsékleten tartjuk. A határfeltételek pedig T(x=0) = T₀ és T(x=1) = T₁ . A hőmérsékleteloszlások energia és entrópiaképekben az alábbiak:

T(x) = T₀ és

.

Emlékeztetőül a hőmérsékleteloszlás stacionárius állapotú hővezetés esetén állandó értékű fenomenológiai tényezővel, azaz Fourier típusú lineáris differenciálegyenletre, ami a formális lineáris megoldás:

T = 0, T(x) = T₀ + (T₁-T₀)^x/l .

Ami az energiamérleg egyenletet illeti, látható a formális bizonyítás a lineáris esetre:

[T] = T = 0,

míg a kvázilineáris esetben a reális forma kapható meg a minimális entrópiaprodukció elvének megfelelően

[(T) T] = `(T) (T)² +(T)T = 0.

Így a minimumelvhez tartozó Euler-Lagrange differenciálegyenletek teljesen egybeesnek az energiamérlegegyenlettel a kvázilineáris tartományban. Látható, hogy a hővezetés az irreverzibilis termodinamika elmélete szerint nemlineáris folyamat a minimumelvekben rögzitett kényszerek és az Onsager feltételek szerint. Mindemellett a mérnöki gyakorlatban előforduló reális problémák nemlineárisak [7,13]. Ez a helyzet tehát a Fourier féle konstitutív egyenlettel, mert egy kísérleti eredményt mindenkor teljes elméleti keretben kell elhelyezni és értelmezni. A mérnöki közelítés megengedhetőségének mértékét ez határozza meg. Másrészről állandó hővezetési tényező esetén a variációs probléma [1,6] azt eredményezi, hogy a konkurrenciába vont függvény egyetlen és önmagával azonos, azaz a probléma variációs természetű megoldásának nincs egzisztenciája. Ez a minimumelvvel való értelmezést kizárja, ami a fentiekben elmondottakkal teljes egyezést eredményez.

Hivatkozások:

[1] Gyarmati, I., Springer, Berlin, Heidelberg, New-York (1970)

[2] Fekete, D., Phys. Stat. Sol. b 105, 161, (1981)

[3] Kreher, K., Reihe Mathematik und Physik. Akademie-Verlag, Berlin (1973)

[4] Linder, H., VEB Fachbuchverlag Leipzig (1978)

[5] Kittel, Ch., Introduction to Solid State Physics, 5^th edition, John & Sons

[6] Biot, M. A., Oxford Press (1970)

[7] Kiss, E., Periodica Polytechnica, Ser. Chem. Eng., 38, 183, (1994)

[8] Kiss, E., Periodica Polytechnica, Ser. Chem. Eng. 41, 205, (1997)

[9] Lampinen, M. J., J. Non-Equilibrium Thermodynamics 15, 397, (1990)

[10] De Groot, S.R., Mazur, P., North- Holland Publishing Co., Amsterdam (1962)

[11] Glansdorff, P., Prigogine, I., Wiley Interscience (1971)

[12] Javorsky, B., Detlaf, A., Handbook of Physics. Mir Publishers, Moscow

[13] Cubo, R., Ichimura, H., Ushui, T., Hashitsume, N., Statistical Mechanics. Netsugaku - tokeingaku. The Shokabo and Company, Tokyo.

[14] Verhás, J., Atti Accademnia Peloritana dei Pericolanti, Messina, Italy, Sicily 62, 73, (1989)